onjour,
L’objectif de ce billet se limite au rappel de quelques notions souvent évoquées dans les échanges sur les obligations et fonds obligataires.
I) – Le coupon.
Avant la dématérialisation des titres en 1984 les obligations étaient présentées sous forme de « planches » en papier à l’entête de l’émetteur et composées de deux parties.
La partie de gauche constituait le titre de créance du souscripteur sur l’émetteur et précisait le montant nominal, le taux, la durée et la date de paiement des intérêts dans l’année.
La partie droite était composée d’autant de « petits tickets » que d’années correspondant à la durée de l’emprunt et reprenait également les données du titre ci-dessus mais avec – sur chaque ticket – l’année afférente aux intérêts à payer.
C’est ce « ticket » que – année par année – chaque porteur découpait de la planche et présentait à sa banque pour en recevoir le montant des intérêts qu’il représentait.
=> D’où le nom de « coupon » donné aux intérêts versés aux porteur d’obligations.
Ensuite la banque payeuse, lors de la séance quotidienne de « compensation », se retournait vers la banque de l’émetteur pour être remboursée de l’avance ainsi faite.
Depuis la dématérialisation des titres tout est informatisé et le versement des intérêts s’effectue directement sur le compte du souscripteur.
II) – Valeur théorique d’une obligation en fonction des taux de marché du moment.
Chacun sait que le principe de base est que – à un moment donné – le taux de rentabilité d’une obligation pour un souscripteur est le même, que ce dernier l’acquière sur le marché primaire ou bien sur le marché secondaire.
Dès lors, si l’on prend l’hypothèse d’une émission primaire sur 10 ans au taux de 4% et que, passés cinq ans, le taux de marché passe à 5% quelle est donc le bon calcul de la valeur théorique de cette même obligation, à ce moment, sur le marché secondaire ?
1) – Le mauvais calcul………..donc à ne pas faire.
+ Une obligation primaire de 100 € au taux de 4% donne un coupon de 4 €
+ Si, cinq ans plus tard, le taux de marché est passé à 5% le mauvais calcul simpliste serait de suivre le raisonnement suivant :
+ Soit Pa la valeur d’achat recherchée
+ Pa x 5% = 4 €
=> Pa = 4 €/5% = 80 €.
Ce calcul est inexact car il ne tient compte que du montant nominal et pas du tout du fait que tous les coupons à percevoir jusqu’au terme de l’emprunt – cinq ans résiduels dans l’exemple – pourront, eux aussi, être placés et rémunérés au taux en vigueur sur le marché soit 5% dans l’hypothèse prise.
2) – Valeur théorique de l’obligation sur le marché secondaire.
Dans le cas général le bon calcul consiste en une actualisation au taux actuel du marché – soit 5% dans cet exemple – de tous les flux d’entrées de trésorerie c’est-à-dire :
+ Somme actualisée de tous les coupons perçus année par année
+ Le nominal remboursé au terme de l’emprunt également actualisé au même taux.
Dans le cas général de l’hypothèse prise l’équation devient :
Pag = [4€ x ((1+5%)^(-1))] + [4€ x ((1+5%)^(-2))] + [4€ x ((1+5%)^(-3))] + [4€ x ((1+5%)^(-4))] + [(100€ + 4€) x ((1+5%)^(-5))]
Pag = 95,67 €
=> Voir tableau Excel joint – Bandeau matérialisé en marron
Dans le cas particulier où une prime de remboursement serait prévue il conviendrait, dans cette équation, de l’ajouter aux 100 € du nominal remboursé.
Par exemple avec une prime de remboursement de 5 € l’équation deviendrait
Pap = [4€ x ((1+5%)^(-1))] + [4€ x ((1+5%)^(-2))] + [4€ x ((1+5%)^(-3))] + [4€ x ((1+5%)^(-4))] + [(105€ + 4€) x ((1+5%)^(-5))]
Et la valeur théorique Pap = 99,59 €
L’on peut vérifier le principe de base fondé sur l’égalité en termes de rentabilité en cas d’acquisition à un moment donné sur le marché primaire et le marché secondaire, il suffit de calculer les « valeurs acquises » au terme du contrat dans chaque cas de figure.
+ Situation du souscripteur d’une obligation initiale sur le marché primaire et/ou sur le marché secondaire.
Obligation de 100 € au taux de 4% (coupon = 4 €) – Nouveau taux de marché = 5%.
Calcul de la valeur acquise « Va1 » par les flux d’entrées de trésorerie (= coupons + capital) de l’année N°6 à l’année N°10 comprises = 5 ans.
NB) – Les coupons sont payés en fin de période (= à terme échu) donc le premier coupon ne porte intérêt que pendant quatre ans :
=> D’où premier exposant d’actualisation = « 4 »
Va1 = (4 € x (1+5%)^(4)) + (4 € x (1+5%)^(3)) + (4 € x (1+5%)^(2)) + (4 € x (1+5%)^(1)) + ((100 € + 4 €) x (1+5%)^(0))
VA1 = 122,10 €
+ Situation du souscripteur d’une obligation sur le marché secondaire.
Obligation de 100 € au taux de 4% (coupon = 4 €) – Nouveau taux de marché = 5%.
Calcul de la valeur acquise « Va2 » par le flux de sortie de trésorerie (= la valeur d’achat versée en début de période) de l’année N°5 à l’année N°10 = 5 ans.
Va2 = 95,67 € x (1+5%)^(5)
VA2 = 122,10 €
+ Situation du souscripteur d’une nouvelle obligation sur le marché primaire
Obligation de 100 € au nouveau taux de marché = 5% (coupon = 5 €)
Calcul de la valeur acquise « Va3 » par les flux d’entrées de trésorerie (= coupons + capital) de l’année N°6 à l’année N°10 = 5 ans
NB) – Les coupons sont payés en fin de période (= à terme échu) donc le premier coupon ne porte intérêt que pendant quatre ans :
=> D’où premier exposant d’actualisation = « 4 »
Va3 = (5 x (1+5%)^(4)) + (4,7835 € x (1+5%)^(3)) + (5 € x (1+5%)^(2)) + (5 € x (1+5%)^(1)) + ((100 € + 5 €) x (1+5%)^(0)) = 127,63 €
Mais il faut comparer des choses comparables car cette nouvelle obligation a été acquise pour 100 € et non pas 95,67 €.
Donc Va3 pour 95,67 € = 127,63 € / 100 x 95,67 = 122,10 €
VA3 = 122,10 €
=> Valeur acquise = Va1 = Va2= Va3 = 122,10 € et le principe d’équivalence de rentabilité, à un moment donné, entre une acquisition d’obligation sur le marché primaire et/ou secondaire est ainsi démontré.
=> Voir tableaux Excel joint – Bandeau matérialisé en rose saumon
III) – Maturité
III) – 1 – Maturité d’une obligation
La maturité d’une obligation correspond à sa durée de vie résiduelle
Donc, à l’émission, la maturité est égale à la durée de l’emprunt obligataire.
Puis, au fil du temps, plus l’on se rapproche du terme plus la maturité diminue
Par exemple pour un emprunt obligataire de dix ans, passés trois ans, sa maturité est de sept ans.
III) – 2 – Maturité d’un portefeuille d’obligations
La maturité d’un portefeuille d’obligations ne se calcule pas en faisant une simple moyenne des maturités individuelles des obligations.
Cela est dû au fait que les obligations avec des maturités plus éloignées ont une plus grande influence sur la maturité globale du portefeuille.
Pour calculer la maturité du portefeuille, on utilise la notion de maturité pondérée, qui tient compte des montants investis dans chaque obligation ainsi que de leur maturité respective.
La formule pour calculer la maturité pondérée du portefeuille est la suivante :
Maturité pondérée = (Somme des (Montant de l’obligation x Maturité de l’obligation)) / Montant total du portefeuille
Par exemple avec trois obligations :
+ Obligation 1 : 50.000 € à maturité 3 ans
+ Obligation 2 : 20.000 € à maturité 5 ans
+ Obligation 3 : 10.000 € à maturité 7 ans
La maturité pondérée serait calculée comme suit :
Maturité pondérée :
= [(50.000 x 3) + (20.000 x 5) + (10.000 x 7)] / (50.000 + 20.000 + 10.000)
= (150.000 + 100.000 + 70.000) / 80.000 = 320.000 / 80.000 = 4 ans
Donc, la maturité pondérée du portefeuille d’obligations serait de 4 ans.
IV) – La duration et la sensibilité
La duration est une durée théorique à partir de laquelle la variation du taux d’intérêt n’a plus d’influence sur la valeur de l’obligation.
C’est :
+ « un point d’équilibre »,
+ « Un centre de gravité des flux de trésorerie actualisés »
+ « Un point mort »
+ « Une période d’Immunisation »
L’idée à retenir est que les coupons détachés peuvent être placés sur les marchés de taux.
À un moment, le porteur « s’immunise » contre les variations de taux :
=> Si les taux s’apprécient, la valorisation de l’obligation baisse,
=> Mais celle des coupons progresse.
=>…..et inversement bien entendu.
Quand les taux varient, il y a un jeu de balancier entre le gain ou la perte en capital et la perte ou le gain sur le réinvestissement de coupons ; il existe donc une durée de détention « idéale » au terme de laquelle les deux effets se compensent.
=> Cette durée de détention s’appelle la duration.
En d’autres termes, quand la duration est atteinte, la perte en capital est contrebalancée par le gain en intérêts (coupons) et vice-versa
Plus la maturité (= l’échéance) d’une obligation est proche plus la duration est faible.
Mais aussi, la duration d’un emprunt est d’autant plus réduite que :
+ La durée résiduelle de l’obligation est courte,
+ Le rendement du marché est élevé,
+ Le coupon est lui aussi élevé.
Pour les obligations à « coupon zéro » (= paiement de tous les coupons et remboursement du capital in fine), la duration est égal égale à la maturité (= la durée).
Et il est important de souligner que plus la duration est importante et plus le risque est important.
Il faudra en effet attendre plus longtemps avant que la variation des taux n’ait plus d’impact sur la rentabilité de l’obligation.
Stratégiquement, si les investisseurs s’attendent à ce que les taux d’intérêt baissent (= donc que les prix des obligations augmentent), ils auront tendance à bâtir un portefeuille composé d’obligations à duration plutôt élevée.
Inversement, s’ils anticipent une hausse des taux d’intérêt (= donc baisse de la valeur) ils chercheront à en réduire les effets sur leur portefeuille et auront alors probablement une préférence pour les obligations à duration plus courte.
IV) – 1 – Limites
+ La duration n’est pertinente que pour des mouvements de taux de faibles amplitudes.
+ Elle ne prend en compte que des mouvements parallèles de la courbe des taux d’intérêts.
Par exemple elle n’est pas pertinente en cas des mouvements non-linéaires des taux tels redressement ou hausse des taux à court terme mais baisse sur la courbe des taux à long terme uniquement.
+ La duration évolue à mesure que l’on se rapproche et/ou dépasse les échéances des flux ; les coupons notamment.
+ Les incidences des variations de taux ne sont pas identiques ; une baisse du taux fera augmenter la valorisation d’une façon plus importante qu’une dépréciation causée par une hausse du taux de même ampleur. (Voir paragraphe « V-Convexité »)
+ La duration ne prend en considération que le taux et le prix de l’obligation.
Mais l’on sait d’autres critères dont la qualité de la signature des émetteurs – ou le changement de cette qualité – sont aussi très importants.
+ De même si deux fonds obligataires ont la même duration moyenne , ils peuvent réagir différemment à des mouvements de taux si leurs actifs sous-jacents sont différents.
IV) – 2 – Calcul de la duration
IV) – 2 – 1 – Pour une obligation
La duration d’une série de flux financiers est la moyenne des durées à courir entre le jour du calcul et la date de paiement de chaque flux (durée de vie du flux), pondérée par la valeur actuelle probable du flux.
Mais il faut préciser :
1) – Qu’il existe trois « types » de duration :
+ La duration de Macaulay
Elle mesure le temps moyen nécessaire pour recevoir la totalité des flux de trésorerie de l’obligation et est calculée en divisant la somme de tous les flux de trésorerie actualisés par la somme de la valeur marchande actuelle de l’obligation.
=> Voir exemples de calculs dans tableau Excel joint – Bandeau matérialisé en bleu.
=> Duration = 4,62 ans dans l’exemple pris
=> En théorie, à partir de cette durée, la fluctuation des taux de marché n’a plus d’incidence sur la valeur de l’obligation.
+ La duration modifiée ; en fait il s’agit de « la sensibilité = S »
Elle se calcule en divisant la duration Macaulay par (1+ taux d’actualisation) :
S = Duration Macaulay/(1+taux actualisation).
NB) – Ne pas confondre taux d’intérêt de l’obligation primaire qui sert au calcul du « coupon » et ce taux d’actualisation qui est le taux actuel du marché proposé pour les nouvelles émissions sur le marché primaire.
=> Voir exemples de calculs dans tableau Excel joint – Cellules matérialisées en jaune.
+ S = 4,62 / (1+ 5%) = 4,400
=> Cette « duration modifiée = sensibilité » signifie que – toujours en théorie – une fluctuation des taux de marché :
+ A la hausse de 1% entraine une réduction de la valeur de l’obligation sur le marché secondaire de 4,40%.
+ A la baisse de 1% entraine une augmentation de la valeur de l’obligation sur le marché secondaire de 4,40%.
=> Ce raisonnement s’applique de la même façon à la « duration effective » évoquée ci-dessous ainsi que pour les durations/sensibilités au niveau d’un portefeuille objet du paragraphe « IV) – 2 – 2 ».
+ La duration effective ou « durée ajustée des options »
Il s’agit d’un calcul plus sophistiqué dont le résultat est censé fournir une « sensibilité plus pertinente ».
Les investisseurs/gestionnaires adaptent leurs stratégies en fonction des évolutions conjoncturelles, notamment des taux, et agissent dans leur intérêt en tant que de besoins.
La durée effective est une mesure de la durée des obligations comportant des options intégrées, par exemple les obligations rachetables, et intègrent les mouvements de prix en fonction des caractéristiques d’achat de l’obligation.
Contrairement à la durée Macaulay et à la durée modifiée, la durée effective prend en compte les fluctuations des mouvements de prix de l’obligation par rapport aux changements du rendement à l’échéance (YTM) de l’obligation.
En d’autres termes, la mesure prend en compte les éventuelles fluctuations des flux de trésorerie attendus d’une obligation.
Le mode de calcul est le suivant :
+ Estimation d’une variation de taux à la baisse et à la hausse
+ Calcul valeur obligation maximale et minimale
+ Différence entre ces valeurs extrêmes
=> Application de cette équation :
=> DE= (VaMax – VaMin)/(2 x 100*** x variation Taux)
*** 100 étant la valeur nominale supposée de l’obligation
=> Voir exemple de calculs dans tableau Excel joint – Bandeau matérialisé en violet.
=> Durée effective = Sensibilité = 4,455 pour une variation de taux de 1%
Ainsi qu’indiqué ci-dessus, cette formule est particulièrement utile pour ceux qui ont acheté une obligation remboursable.
En fonction de l’évolution du taux d’intérêt, il est alors possible de calculer la durée effective à l’aide de la formule mentionnée ci-dessus et, éventuellement, racheter les obligations avant l’échéance.
2) – Que, suivant les intervenants, les modes de calculs diffèrent.
+ Les uns actualisent les flux de trésorerie suivant leurs périodicités
NB) – Dans les tableaux Excel joints tous les flux de trésorerie ont été supposés avec une périodicité annuelle
+ Les autres actualisent en jours
+ D’autres considèrent des notations continues et pour leurs calculs utilisent la fonction exponentielle en mathématiques
+ D’autres encore assimilent la courbe des taux à un polynôme d’une multitude de maturités et définissent la duration par un calcul de dérivée.
=> Ces calculs sophistiqués sont indiqués pour information mais sortent de l’objectif du présent billet
3) – Enfin il faut aussi préciser que si la duration/sensibilité peut être calculée pour une seule obligation elle peut aussi l’être pour un portefeuille composé de plusieurs obligations.
IV) – 2 – 2 – Pour un portefeuille d’obligations
La duration d’un portefeuille est égale à la moyenne des durations de chaque ligne, pondérée par le montant de chaque ligne.
=> Voir exemple de calculs dans tableau Excel joint – Bandeau matérialisé en gris.
=> Duration du portefeuille de trois obligations dans cet exemple = 3,585 ans
=> Sensibilité = 3,414
Il est aussi possible de calculer le rendement actuariel global et calculer la duration du portefeuille comme s’il s’agissait d’un seul titre.
=> Voir exemple de calculs dans tableau Excel joint – Bandeau matérialisé en vert.
=> Duration du portefeuille de trois obligations dans cet exemple = 3,588 ans
=> Sensibilité = 3,417
L’on peut remarquer que ce dernier calcul est plus précis que le précédent mais, dans l’exemple, avec une différence de 0,003 tant sur la duration que la sensibilité, l’ordre de grandeur reste acceptable.
V) – Convexité
Ainsi qu’indiqué au paragraphe IV)-1- Limites ci-dessus :
«Les incidences des variations de taux ne sont pas identiques ; une baisse du taux fera augmenter la valorisation d’une façon plus importante qu’une dépréciation causée par une hausse du taux de même ampleur ».
La relation entre le prix de l’obligation et le taux d’intérêt n’est donc pas linéaire, mais convexe.
Cela signifie que, suite à une baisse des taux, le cours de l’obligation augmentera plus vite qu’il ne baissera après une hausse équivalente.
Entre deux obligations, il est donc préférable de donner la priorité à celles dont la convexité est la plus élevée.
La plupart des obligations à coupon fixe présentent une convexité positive.
Plus la durée de vie d’une obligation est longue, plus la convexité est élevée.
De même, plus le taux de coupon d’une obligation est élevé, plus sa convexité est forte.
Les premières approches que sont la duration et la sensibilité traitent une relation linéaire entre prix et taux.
Mais, du fait de cette « convexité », cette première estimation de la relation prix/taux est imparfaite car elle :
+ Surestime la chute des prix d’une obligation occasionnée par une hausse des taux d’intérêt.
+ Sous-estime la hausse du prix d’une obligation occasionnée par une baisse équivalente des taux d’intérêt.
=> C’est pourquoi les professionnels utilisent cet autre critère de mesure qu’est la convexité.
Elle fait appel à des notions mathématiques complexes qui dépassent le cadre de ce billet.
Mais, à toutes fins utiles, j’invite les lecteurs intéressés à prendre connaissance de l’article très détaillé dont lien ci-dessous :
La convexité d’une obligation
https ://apprendre-a-investir.net/convexite-obligation/
Cdt